BLOQUE I.
APLICAS LA DIFERENCIAL EN ESTIMACIÓN DE ERRORES Y APROXIMACIONES DE VARIABLES EN LAS CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS.
A partir del análisis concepto de diferencial el estudiantado calcula e interpreta, determina y /o estima errores y aproxima distintos parámetros físicos y/o geométricos.
Diferencial
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.
Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.
Diferencial de una función en un punto
Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,
dy = df(x) = f'(x) · h
Propiedades de la diferencial
Primera propiedad:
La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.
Segunda propiedad:
Al ser dy = f ' (x)·h = 
, la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.
Tercera propiedad:
Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y
Cuarta propiedad:
cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a
Ejemplos:
Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos.
Resolución:
· Diferenciando la expresión s = 5t2 + t,
· Sustituyendo en la expresión de ds,
· En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:
Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm
‚ Calcular 3,052.
Resolución:
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.
Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.
Diferencial de una función en un punto
Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,
dy = df(x) = f'(x) · h
Propiedades de la diferencial
Primera propiedad:
La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.
Segunda propiedad:
Al ser dy = f ' (x)·h = , la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.
, la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.
Tercera propiedad:
Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y
Cuarta propiedad:
cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a
cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.
Ejemplos:
Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos.
Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre
Resolución:
· Diferenciando la expresión s = 5t2 + t,
ds = (10t + 1) · dt
· Sustituyendo en la expresión de ds,
· En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:
Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm
‚ Calcular 3,052.
Resolución:
Para encontrar un resultado aproximado de 3,052 se considera la función y = x2.
Diferenciando esta función, dy = 2x dx.
Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión de dy.
En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05
dyx = 3 = 2 · 3 · 0,05 = 0,30
Por tanto, aproximadamente, 3,052 = 9 + 0,30 = 9,30.
Si se calcula con exactitud el valor de 3,052 se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡25 diezmilésimas!
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